困扰数学家25年的“切苹果”难题 被一位华人统计学博士解决了

这就是1995年,由三位数学家提出的一个几何学猜想。

现在,这个难题被一位华人统计学博士,解决了。

成果一经发布,就迅速引起了数学、理论计算机科学、统计学等多个领域的科学家的关注。

他们一致认为,数学大师、菲尔兹奖得主,原本猜想的提出者Jean Bourgain(让·布尔甘)一定会对这一进展感到兴奋。

毕竟,在他去世前(2018年)的几个月里还在关心这一问题进展,但终其一生都未能解决。

困扰数学家25年的几何问题

1984年,著名数学家让·布尔甘提出了一个猜想。

一个任意维度的凸体,用低一维的平面去平分,那么存在一个常数c,让凸体至少存在一个切面的面积大于c。

换句话说,如果你一刀平分“任意维度空间的西瓜”,随便你怎么劈,总有一个切面总大于c。

(Ps:以往的科学家用的是苹果的例子。但准确来说不能选苹果,因为苹果上下是凹的。)

在3维空间中,这个结论似乎很好理解,因为无论西瓜长成什么奇形怪状,总不可能在每个角度都细长。

像下面这样的长西瓜,竖直切下去,切面很小,可以你也可以水平切开平分它,这样切面就会很大。

但在3维世界中正确的事情,到了高维空间却不一定成立。

这个问题后来被布尔甘自己证明,但数学家们并不满足于用平面切西瓜,而是希望能找到一个更小的切面,它可以是曲面

而这恰好是1995年Kannan、Lovász和Simonovits三人提出的KLS猜想关心的问题:用来平分的最小曲面面积是多少?

以二维空间里的一个三角形为例。

这个最小的“曲面”是一段圆弧。用圆弧来平分一个三角形,中间的线长度最短,而最佳“平面”——直线——的效果略差。

△ 如何用最小“切面”平分三角形(来源:Quanta Magazine)

到了更高维度的空间中,二等分的最佳平面和最佳曲面差距会变大吗?切面的面积是否和维度d有关?

这个问题已经不再是纯粹的数学问题。

普林斯顿大学数学系教授Assaf Naor表示,KLS猜想在纯粹的数学和理论计算机科学中都很重要。

KLS猜想的结果,直接关系到随机行走算法的运行时间,如机器学习模型中采样问题。

所以最后解决这个几何问题的学者,都并非几何学的专家,而是来自计算机界。

用统计方法解决他

经过数学家的抽象,KLS猜想就像一个封装着气体的容器,找到最佳切面就是寻找容器的“瓶颈”。

想象一个哑铃形状的容器,里面有一个气体分子在随机运动,哑铃中间连接部分越细,分子就越难跑到另一侧。

△哑铃形的平分切面很小(来源:Yin Tat Lee论文)

现在人们想知道,在高维空间,这个凸的容器最细的地方有多细。(当然,哑铃并非是凸的。)

2012年,Eldan通过引入一种称为随机定位的技术,来降低这个问题与维度上界。(到底是维度d的几次幂。)

2015年末,华盛顿大学的Vempala和Yin Tat Lee改进了Eldan的随机定位,以进一步将KLS因子(用于描述瓶颈是否存在)降低到维度的四次根d1/4。

△ KLS猜想的上界不断降低(来源:同上)

甚至,他们还将幂指数降低到几乎为0,由于d的0次幂总是等于1,Lee和Vempala似乎证明了KLS因子是一个与维度无关的常数。

他们在arXiv上发布了他们的论文。但是几天后,这篇文章就被人发现了一个缺陷,他们关于d0的证明是错的。

之后,二人修改了文章,把界限重新调整到d1/4。几年来,研究人员认为KLS猜想的探索已经到此终结了。

不过他们还在论文中,保留了d0证明的一些想法。这也为后来的突破埋下伏笔。

他们的论文引起了另一位统计学者Yuansi Chen的注意。

Chen当时是加州大学伯克利分校的统计学研究生,他正在研究随机采样方法的混合率。而随机抽样是许多类型统计推断中的关键,例如贝叶斯统计。

Chen深入研究文学,花了数周时间试图填补Lee和Vempala的证明中的空白,但依然没有解决。

于是他转变了思路,在Lee和Vempala的思想指导下,他找到了一种方法,采用递归来降低KLS因子上界。

经过反复迭代,这种方法将KLS猜想问题再次拉回到d0的上界。

这一结果意味着,高维凸形物体不会有哑铃那样的结构。

该定理的结果意味着,在n维凸体中随机行走,遍历整个图形的速度比我们之前预想得要快得多。

这将有助于计算机科学家对不同的随机采样算法进行优先级排序。

三个计算机相关的科学家

虽然表面看上去,这三位学者似乎跟数学没什么关系。

但仔细翻看他们的履历,他们都曾跟数学结下了不小的缘分。

首先,直接与研究相关的这位统计学博士后——Yuansi Chen (陈远思,音译)。

今年年初,他开始在杜克大学统计科学系担任助理教授的职位。

主要研究方向是统计机器学习、优化以及在神经科学中的应用,尤其对其中域适应性、稳定性、MCMC采样算法、卷积神经网络和计算神经科学中出现的统计问题感兴趣。

2019年,他在加州大学伯克利分校统计系获得博士学位。

其博士生导师是著名华裔统计学家、UC伯克利统计系和电子工程与计算机科学系终身教授郁彬。

在攻读博士之前,他还在法国Ecole Polytechnique获得了应用数学专业的工程师文凭。

随后,前往在苏黎世联邦理工学院ETH Foundations of Data Science(ETH-FDS)做博士后研究。

而启发Yuansi Chen数学灵感的,是两位计算机科学家。

Yin Tat Lee (李贤达,音译)和Santosh S. Vempala。

李贤达,目前是华盛顿大学助理教授,本科毕业于香港中文大学。

2012年从港中文大学毕业后,前往麻省理工学院攻读博士学位,随后前往微软研究院做博士后研究。

他的研究方向主要在算法方面,包括凸优化、凸几何、谱图理论和在线算法等广泛的课题。

以往的研究里,他曾结合连续数学和离散数学的思想,大幅提升了在计算机科学和优化中许多基本问题的算法,比如线性编程和最大流量问题。

他曾获得SODA最佳论文奖、NeurIPS 2018最佳论文奖、NSF职业奖。

去年他还获得了有“诺奖风向标”之称的斯隆奖,以及美国最大的非政府奖学金之一——帕卡德奖学金。

再来看Santosh S. Vempala,佐治亚理工学院计算机科学教授。

主要研究领域是理论计算机科学,还抽样、学习、优化和数据分析的算法工具;随机线性代数,高维几何。

他曾在卡内基梅隆大学攻读博士学位,本科毕业于印度理工学院的计算机专业,曾获NSF职业奖、斯隆奖等奖项。

在来到佐治亚理工学院之前,他曾担任MIT应用数学系担任教授、UC伯克利米勒研究员。

数学家:不可思议

随着陈远思论文一发布,迅速就引起了数学界的学者关注。

不光是因为此前的错误证明,还由于陈远思这个名字在数学界十分陌生,研究人员对待这一成果十分谨慎。

但他的方法很容易被验证。

早期研究过KLS猜想的以色列数学家BoázKlartag,就在第一时间看了论文。

我基本上立即停止了我正在做的一切事情,并检查了这篇论文。

这篇论文是100%正确的,这一点毫无疑问。

除了一众数学家关注之外,还引起了理论数学家、统计学等领域的注意。

哈佛大学计算机科学教授、微软研究院前新英格兰首席研究员Boaz Barak则发推祝贺。

并表示这是一个非常重要的突破,加速了对近似凸体体积的研究。

但点赞祝贺之余,也有不少学者表示十分遗憾。

因为提出这一猜想的人菲尔兹奖得主布尔甘已于2018年去世,如果他还在的话,一定会为这一进展感到兴奋。

据QuantaMagazine报道,布尔甘曾在去世前几个月,联系了他的朋友、特拉维夫大学教授Vitali Milman,询问这一猜想是否有任何进展,想在离开之前知道答案。

但Vitali Milman说,布尔甘在这一问题上,花费的时间和投入的精力比任何其他问题多得多。没想到,最后这个问题却被统计学解决了。

谷歌涂鸦通过展示字母Ñ庆祝联合国西班牙语日

据外媒CNET报道,周五的谷歌涂鸦是由字母Ñ带来的。它看起来像字母N,但是,虽然它与该字母密切相关,但它的作用与它的字母“兄弟们”不同。几乎自谷歌成立以来,该公司就推出了各种各样的涂鸦作品,以引起人们对著名人物、事件、节日和纪念日的关注。谷歌这个词通常会出现在某个地方,要么是用不同的字体,要么是用类似的形状的物体表示。但是,看到另一个字母悄悄出现在这里是相当罕见的。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

Facebook内部调查发现公司未能阻止试图破坏美大选的运动

据外媒报道,据报道,Facebook的一个内部工作小组发现,该社交网络未能阻止一场“极具影响力的运动”,即在1月6日美国国会山暴乱之前利用其平台使美国总统选举合法化并煽动暴力。据获得了Facebook内部报告副本的BuzzFeed News披露称,调查的重点是跟Stop The Steal和Patriot Party这两个运动有关的人是如何设法在Facebook上传播虚假信息以及战胜该公司的节制努力。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

Nvidia推荐卸载近期Windows 10累积更新 以修复游戏问题

在本月的补丁星期二活动日中,微软发布了 KB5001330 累积更新。不少玩家在升级该更新之后出现了不同程度的游戏问题,对此 Nvidia 表示正在调查这些用户反馈报告。

发布于:1小时以前  |  6次阅读  |  详细内容 »

专利显示苹果公司正在研发无袖带血压监测技术

据外媒AppleInsider报道,苹果公司正在研究一种技术,可以通过使用神经网络和心震图数据来检测用户的血压,从而忽略了对血压袖带的需求。根据周四公布的一项专利申请,一种可能与Apple Watch配对的可穿戴设备,有朝一日可能能够监测用户的血压,而不需要任何额外的设备。

发布于:1小时以前  |  6次阅读  |  详细内容 »

与脸书的又一场大战?苹果计划在iMessage中添加更多的社交功能

据外媒报道,彭博社周四报道,苹果正在改进iMessage以助该产品跟WhatsApp等Facebook即时通讯产品更强大的社交网络功能展开竞争。尽管彭博社的报道没有具体说明iMessage将会有什么变化,也没有具体说明它们将在什么时候发布,但随着苹果和Facebook之间的紧张关系持续升温这将会产生严重的影响。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

美国男子18万美元买狗狗币成百万富翁 自称受马斯克激励

33岁的美国男子戈劳伯-孔特索托(Glauber Contessoto)表示,在当地时间4月15日下午6点,他发现自己成为了一位狗狗币百万富翁。这让他激动得彻夜未眠,整个晚上都在盯着电脑屏幕。孔特索托说,在从Reddit网站上了解到这种加密货币后,他在2月5日投入超过18万美元买入狗狗币,当时的价格大约是4.5美分。

发布于:1小时以前  |  11次阅读  |  详细内容 »

顺丰不再“顺风”:一季度净亏损同比暴跌209% 财务负责人也走了

在王卫因公司亏损道歉后,顺丰控股内部似乎涟漪不断。4月22日晚,顺丰控股发布2021年一季度财务报告,净亏损达到9.89亿元,同比下降209.01%。同时,该公司财务负责人伍玮婷“因个人原因”申请调任。实际上,伍玮婷可谓是顺丰“元老”,她自2016年12月起就担任顺丰控股董事、副总经理兼财务负责人。

发布于:1小时以前  |  6次阅读  |  详细内容 »

Windows 10 Version 1909获可选更新:新增新闻和兴趣功能

面向 Windows 10 Version 1909 功能更新用户,今天微软发布了 KB5001396 累积更新。用户除了可以通过检查 Windows Update 或者 WUSU 服务进行自动更新之外,也可以通过本文下方的链接进行手动离线安装。

发布于:1小时以前  |  6次阅读  |  详细内容 »

NASA宇航员:我们“到目前为止”还没有在太空中看到任何独角兽

据外媒CNET报道,周四一位年轻的太空迷向国际空间站上的一群宇航员询问了一个关键话题。“我一直在寻找地球上的独角兽,但你们在太空中见过它们吗?”这个5岁的孩子问道。

发布于:1小时以前  |  9次阅读  |  详细内容 »

《赛博朋克2077》2022年销量超1370万份,仅3万份要求退款

据外媒报道,在今日的收益电话会议上,CD Projekt透露了其最新RPG游戏《赛博朋克2077》在2020年的销量以及围绕这款麻烦游戏的其他一些有趣数据。据公司根据经销商信息估计,截止2020年底,《赛博朋克2077》在所有平台上的销量超1370万份。其中大部分来自数字购物--占销售量的73%。

发布于:1小时以前  |  8次阅读  |  详细内容 »

Universal Hydrogen获2050万美元A轮融资 为商用飞机开发储氢解决方案

据外媒TechCrunch报道,在今年的世界地球日,Universal Hydrogen公司宣布获得2050万美元的A轮融资,这是一家位于洛杉矶的初创公司,旨在为商用飞机开发储氢解决方案和转换套件,从而推动了航空业去碳化的竞赛。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

Office LTSC/Office 2021 for Mac进入商业预览阶段

今天,微软宣布 Office 的下个“永久”版 -- Office Long Term Servicing Channel (LTSC) for Windows 和 Office 2021 for Mac 现在进入商业预览(commercial preview)阶段。早在今年 2 月份,微软就已经宣布了下个永久许可证版本的 Office,并承诺在今年 4 月进行商业预览。现在看起来一切进展顺利。

发布于:1小时以前  |  6次阅读  |  详细内容 »

苹果公司环境副总裁丽莎·杰克逊:转向绿色经济可能对地球和企业本身都有好处

苹果公司环境、政策和社会倡议副总裁最近接受了《华盛顿邮报》的采访,谈及了该公司的一些环境和社会倡议,包括苹果公司计划在2030年前实现其整个业务的碳中和。正如杰克逊在采访中所说,苹果已经是一家碳中和公司。但是为了实现2030年的目标,它还需要在其供应链和产品中实现碳中和。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

研究发现Y染色体上的DNA重复会缩短雄性果蝇寿命

据外媒报道,男性的寿命可能会比女性短,因为随着男性变老,Y染色体的重复部分会产生毒性效应。这些新发现发表在了今天(当地时间2021年4月22日)的《PLOS Genetics》。在人类和其他具有XY性染色体的物种中,女性的寿命通常比男性长。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

[视频]Galaxy A22 5G高清渲染:将是最便宜的三星5G手机

继几天前的保护套渲染图之后,今天知名爆料人士@Onleaks分享了更高清的 Galaxy A22 渲染图。Galaxy A22 应该是三星最便宜的 5G 手机,此前这个头衔是 Galaxy A32 5G 的,是三星首款低于 300 欧元的 5G 手机。

发布于:1小时以前  |  6次阅读  |  详细内容 »

上海维权女车主丈夫深夜再发声:特斯拉已侵犯个人隐私权 要求撤销数据并道歉

4月22日下午,特斯拉向媒体公开了事故发生前1分钟的行车数据,并作出一份文字说明。随后,维权女车主的丈夫李先生深夜向大象新闻记者回应,其侵犯了车主的个人隐私权和消费者权益,会立即向郑州市市场监管部门进行投诉。

发布于:1小时以前  |  5次阅读  |  详细内容 »

科学家认为系外行星可被用作寻找暗物质的“巨大探测器”

据外媒New Atlas报道,科学家们可能会通过搜索来自遥远的外星世界的异常热量特征来探测暗物质的存在。暗物质是一种神秘的、不可见的物质,被认为占了宇宙质量的80%左右。虽然不可能真正看到暗物质,但科学家能够通过观察它对附近可见物质产生的强大引力影响来推测它的存在。这种看不见的物质被认为对宇宙的形成和演化产生了深远的影响,因此找到观察和了解暗物质的新方法对科学界来说具有重大意义。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

实探特斯拉:超级工厂安保升级 相邻地块流标引热议

特斯拉车主上海车展维权事件持续发酵。实际上,身陷维权风波的特斯拉还面临着拿地扩张的压力。近期,位于上海自贸区临港重装备产业区的一块工业用地流标,该地块紧邻特斯拉上海超级工厂,被市场解读为是特斯拉扩建的新厂址。

发布于:1小时以前  |  5次阅读  |  详细内容 »

人民法院将加强反垄断审判 防止资本无序扩张

4月22日,最高人民法院召开知识产权宣传周新闻发布会,介绍全国法院2020年知识产权司法保护的总体情况,发布《人民法院知识产权司法保护规划(2021—2025年)》(简称《规划》)以及2020年度知识产权十大案例、五十件典型案件。《规划》明确了“十四五”时期人民法院全面加强知识产权司法保护的总体要求和具体措施。

发布于:1小时以前  |  12次阅读  |  详细内容 »

索尼和沃达丰联手测试5G环境驾驶车 代号VISION-S

随着通讯技术的不断发展,5G网络的应用范围也越来越广泛,利用5G网络的低延时、高速度的优势,可以有效的提高汽车的安全性和便利性。4月22日,据索尼官微消息,索尼公司和沃达丰公司在德国开始了VISION-S原型车的5G环境驾驶测试。这次5G环境驾驶测试就是在移动出行领域的尝试。

发布于:1小时以前  |  7次阅读  |  详细内容 »

最新资讯

RTX 3080 Ti核心照、挖矿算力首曝 7小时以前  |  21次阅读
EA面向2022年的《战地》新作即将公布 9小时以前  |  21次阅读
防丢神器AirTag,会把自己弄丢吗? 9小时以前  |  22次阅读

最热资讯

日本拟下月提交核污染水排海计划 1天以前  |  1233次阅读
匠人用大米做出三星堆黄金面具 5天以前  |  458次阅读